weblib/tutorial/chapter8.ma

   1 (*
   2 \ 5h1\ 6Broadcasting points\ 5/h1\ 6
   3 Intuitively, a regular expression e must be understood as a pointed expression with a single
   4 point in front of it. Since however we only allow points before symbols, we must broadcast
   5 this initial point inside e traversing all nullable subexpressions, that essentially corresponds
   6 to the ϵ-closure operation on automata. We use the notation •(_) to denote such an operation;
   7 its definition is the expected one: let us start discussing an example.
   8
   9 \ 5b\ 6Example\ 5/b\ 6
  10 Let us broadcast a point inside (a + ϵ)(b*a + b)b. We start working in parallel on the
  11 first occurrence of a (where the point stops), and on ϵ that gets traversed. We have hence
  12 reached the end of a + ϵ and we must pursue broadcasting inside (b*a + b)b. Again, we work in
  13 parallel on the two additive subterms b^*a and b; the first point is allowed to both enter the
  14 star, and to traverse it, stopping in front of a; the second point just stops in front of b.
  15 No point reached that end of b^*a + b hence no further propagation is possible. In conclusion:
  16                •((a + ϵ)(b^*a + b)b) = 〈(•a + ϵ)((•b)^*•a + •b)b, false〉
  17 *)
  18
  19 include "tutorial/chapter7.ma".
  20
  21 (* Broadcasting a point inside an item generates a pre, since the point could possibly reach
  22 the end of the expression.
  23 Broadcasting inside a i1+i2 amounts to broadcast in parallel inside i1 and i2.
  24 If we define
  25                  〈i1,b1〉 ⊕ 〈i2,b2〉 = 〈i1 + i2, b1∨ b2〉
  26 then, we just have •(i1+i2) = •(i1)⊕ •(i2).
  27 *)
  28
  29 include "tutorial/chapter7.ma".
  30
  31 definition lo ≝ λS:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6.λa,b:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S.\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6\ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 a \ 5a title="pitem or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6 \ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 b,\ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 a \ 5a title="boolean or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6 \ 5a title="pair pi2" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\snd\ 5/a\ 6 b〉.
  32 notation "a ⊕ b" left associative with precedence 60 for @{'oplus $a $b}.
  33 interpretation "oplus" 'oplus a b = (lo ? a b).
  34
  35 lemma lo_def: ∀S.∀i1,i2:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S.∀b1,b2. \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6i1,b1〉\ 5a title="oplus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6⊕\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6i2,b2〉\ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6\ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6i1\ 5a title="pitem or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6+\ 5/a\ 6i2,b1\ 5a title="boolean or" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∨\ 5/a\ 6b2〉.
  36 // qed.
  37
  38 (*
  39 Concatenation is a bit more complex. In order to broadcast a point inside i1 · i2
  40 we should start broadcasting it inside i1 and then proceed into i2 if and only if a
  41 point reached the end of i1. This suggests to define •(i1 · i2) as •(i1) ▹ i2, where
  42 e ▹ i is a general operation of concatenation between a pre and an item, defined by
  43 cases on the boolean in e:
  44
  45        〈i1,true〉 ▹ i2  = i1 ◃ •(i_2)
  46        〈i1,false〉 ▹ i2 = i1 · i2
  47 In turn, ◃ says how to concatenate an item with a pre, that is however extremely simple:
  48         i1 ◃ 〈i1,b〉  = 〈i_1 · i2, b〉
  49 Let us come to the formalized definitions:
  50 *)
  51
  52 definition pre_concat_r ≝ λS:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6.λi:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S.λe:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S.
  53   match e with [ mk_Prod i1 b ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6i \ 5a title="pitem cat" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 i1, b〉].
  54
  55 notation "i ◃ e" left associative with precedence 60 for @{'lhd $i $e}.
  56 interpretation "pre_concat_r" 'lhd i e = (pre_concat_r ? i e).
  57
  58 lemma eq_to_ex_eq: ∀S.∀A,B:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter6/word.def(3)"\ 6word\ 5/a\ 6 S → Prop.
  59   A \ 5a title="leibnitz's equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 6 B → A \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 B.
  60 #S #A #B #H >H #x % // qed.
  61
  62 (* The behaviour of ◃ is summarized by the following, easy lemma: *)
  63
  64 lemma sem_pre_concat_r : ∀S,i.∀e:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S.
  65   \ 5a title="in_prl" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\sem\ 5/a\ 6{i \ 5a title="pre_concat_r" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6◃\ 5/a\ 6 e} \ 5a title="extensional equality" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6=\ 5/a\ 61 \ 5a title="in_pl" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\sem\ 5/a\ 6{i} \ 5a title="cat lang" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 \ 5a title="in_l" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\sem\ 5/a\ 6{\ 5a title="forget" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6|\ 5/a\ 6\ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 e|} \ 5a title="union" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6∪\ 5/a\ 6 \ 5a title="in_prl" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\sem\ 5/a\ 6{e}.
  66 #S #i * #i1 #b1 cases b1 [2: @\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter8/eq_to_ex_eq.def(4)"\ 6eq_to_ex_eq\ 5/a\ 6 //]
  67 >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/sem_pre_true.def(9)"\ 6sem_pre_true\ 5/a\ 6 >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/sem_cat.def(8)"\ 6sem_cat\ 5/a\ 6 >\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/sem_pre_true.def(9)"\ 6sem_pre_true\ 5/a\ 6 /\ 5span class="autotactic"\ 62\ 5span class="autotrace"\ 6 trace \ 5/span\ 6\ 5/span\ 6/
  68 qed.
  69
  70 (* The definition of $•(-)$ (eclose) and ▹ (pre_concat_l) are mutually recursive.
  71 In this situation, a viable alternative that is usually simpler to reason about,
  72 is to abstract one of the two functions with respect to the other. In particular
  73 we abstract pre_concat_l with respect to an input bcast function from items to
  74 pres. *)
  75
  76 definition pre_concat_l ≝ λS:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6.λbcast:∀S:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6.\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S → \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S.λe1:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S.λi2:\ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S.
  77   match e1 with
  78   [ mk_Prod i1 b1 ⇒ match b1 with
  79     [ true ⇒ (i1 \ 5a title="pre_concat_r" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6◃\ 5/a\ 6 (bcast ? i2))
  80     | false ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6i1 \ 5a title="pitem cat" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6·\ 5/a\ 6 i2,\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6〉
  81     ]
  82   ].
  83
  84 notation "a ▹ b" left associative with precedence 60 for @{'tril eclose $a $b}.
  85 interpretation "item-pre concat" 'tril op a b = (pre_concat_l ? op a b).
  86
  87 (* We are ready to give the formal definition of the broadcasting operation. *)
  88
  89 notation "•" non associative with precedence 60 for @{eclose ?}.
  90
  91 let rec eclose (S: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter4/DeqSet.ind(1,0,0)"\ 6DeqSet\ 5/a\ 6) (i: \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pitem.ind(1,0,1)"\ 6pitem\ 5/a\ 6 S) on i : \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pre.def(1)"\ 6pre\ 5/a\ 6 S ≝
  92  match i with
  93   [ pz ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6 \ 5a href="cic:/matita/tutorial/chapter7/pitem.con(0,1,1)"\ 6pz\ 5/a\ 6 ?, \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 〉
  94   | pe ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6 \ 5a title="pitem epsilon" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6ϵ\ 5/a\ 6,  \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6 〉
  95   | ps x ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6 \ 5a title="pitem pp" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6`\ 5/a\ 6.x, \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6〉
  96   | pp x ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6 \ 5a title="pitem pp" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6`\ 5/a\ 6.x, \ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,2,0)"\ 6false\ 5/a\ 6 〉
  97   | po i1 i2 ⇒ •i1 \ 5a title="oplus" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6⊕\ 5/a\ 6 •i2
  98   | pc i1 i2 ⇒ •i1 \ 5a title="item-pre concat" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6▹\ 5/a\ 6 i2
  99   | pk i ⇒ \ 5a title="Pair construction" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6〈\ 5/a\ 6(\ 5a title="pair pi1" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6\fst\ 5/a\ 6 (•i))\ 5a title="pitem star" href="cic:/fakeuri.def(1)"\ 6^\ 5/a\ 6*,\ 5a href="cic:/matita/basics/bool/bool.con(0,1,0)"\ 6true\ 5/a\ 6〉].
 100
 101 notation "• x" non associative with precedence 60 for @{'eclose $x}.
 102 interpretation "eclose" 'eclose x = (eclose ? x).
 103
 104 (* Here are a few simple properties of ▹ and •(-) *)
 105
 106 lemma pcl_true :
 107   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 108   〈i1,true〉 ▸ i2 = i1 ◂ (•i2).
 109 // qed.
 110
 111 lemma pcl_true_bis :
 112   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 113   〈i1,true〉 ▸ i2 = 〈i1 · \fst (•i2), \snd (•i2)〉.
 114 #S #i1 #i2 normalize cases (•i2) // qed.
 115
 116 lemma pcl_false:
 117   ∀S.∀i1,i2:pitem S.
 118   〈i1,false〉 ▸ i2 = 〈i1 · i2, false〉.
 119 // qed.
 120
 121 lemma eclose_plus: ∀S:DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 122   •(i1 + i2) = •i1 ⊕ •i2.
 123 // qed.
 124
 125 lemma eclose_dot: ∀S:DeqSet.∀i1,i2:pitem S.
 126   •(i1 · i2) = •i1 ▹ i2.
 127 // qed.
 128
 129 lemma eclose_star: ∀S:DeqSet.∀i:pitem S.
 130   •i^* = 〈(\fst(•i))^*,true〉.
 131 // qed.
 132
 133 (* The definition of •(-) (eclose) can then be lifted from items to pres
 134 in the obvious way. *)
 135
 136 definition lift ≝ λS.λf:pitem S →pre S.λe:pre S.
 137   match e with
 138   [ mk_Prod i b ⇒ 〈\fst (f i), \snd (f i) ∨ b〉].
 139
 140 definition preclose ≝ λS. lift S (eclose S).
 141 interpretation "preclose" 'eclose x = (preclose ? x).
 142
 143 (* Obviously, broadcasting does not change the carrier of the item,
 144 as it is easily proved by structural induction. *)
 145
 146 lemma erase_bull : ∀S.∀i:pitem S. |\fst (•i)| = |i|.
 147 #S #i elim i //
 148   [ #i1 #i2 #IH1 #IH2 >erase_dot <IH1 >eclose_dot
 149     cases (•i1) #i11 #b1 cases b1 // <IH2 >odot_true_bis //
 150   | #i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus >(erase_plus … i1) <IH1 <IH2
 151     cases (•i1) #i11 #b1 cases (•i2) #i21 #b2 //
 152   | #i #IH >eclose_star >(erase_star … i) <IH cases (•i) //
 153   ]
 154 qed.
 155
 156 (* We are now ready to state the main semantic properties of $\oplus,
 157 \triangleleft$ and $\bullet(-)$:
 158
 159 \begin{lstlisting}[language=grafite]
 160 lemma sem_oplus: ∀S:DeqSet.∀e1,e2:pre S.
 161   \sem{e1 ⊕ e2} =1 \sem{e1} ∪ \sem{e2}.
 162 lemma sem_pcl : ∀S.∀e1:pre S.∀i2:pitem S.
 163   \sem{e1 ▹ i2} =1  \sem{e1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 164 theorem sem_bullet: ∀S:DeqSet. ∀i:pitem S.
 165   \sem{•i} =1 \sem{i} ∪ \sem{|i|}.
 166 \end{lstlisting}
 167 The proof of \verb+sem_oplus+ is straightforward. *)
 168
 169 lemma sem_oplus: ∀S:DeqSet.∀e1,e2:pre S.
 170   \sem{e1 ⊕ e2} =1 \sem{e1} ∪ \sem{e2}.
 171 #S * #i1 #b1 * #i2 #b2 #w %
 172   [cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
 173   |cases b1 cases b2 normalize /2/ * /3/ * /3/
 174   ]
 175 qed.
 176
 177 (* For the others, we proceed as follow: we first prove the following
 178 auxiliary lemma, that assumes sem_bullet:
 179
 180 lemma sem_pcl_aux: ∀S.∀e1:pre S.∀i2:pitem S.
 181    \sem{•i2} =1  \sem{i2} ∪ \sem{|i2|} →
 182    \sem{e1 ▹ i2} =1  \sem{e1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 183
 184 Then, using the previous result, we prove sem_bullet by induction
 185 on i. Finally, sem_pcl_aux and sem_bullet give sem_pcl. *)
 186
 187 lemma LcatE : ∀S.∀e1,e2:pitem S.
 188   \sem{e1 · e2} = \sem{e1} · \sem{|e2|} ∪ \sem{e2}.
 189 // qed.
 190
 191 lemma sem_pcl_aux : ∀S.∀e1:pre S.∀i2:pitem S.
 192    \sem{•i2} =1  \sem{i2} ∪ \sem{|i2|} →
 193    \sem{e1 ▹ i2} =1  \sem{e1} · \sem{|i2|} ∪ \sem{i2}.
 194 #S * #i1 #b1 #i2 cases b1
 195   [2:#th >odot_false >sem_pre_false >sem_pre_false >sem_cat /2/
 196   |#H >odot_true >sem_pre_true @(eqP_trans … (sem_pre_concat_r …))
 197    >erase_bull @eqP_trans [|@(eqP_union_l … H)]
 198     @eqP_trans [|@eqP_union_l[|@union_comm ]]
 199     @eqP_trans [|@eqP_sym @union_assoc ] /3/
 200   ]
 201 qed.
 202
 203 lemma minus_eps_pre_aux: ∀S.∀e:pre S.∀i:pitem S.∀A.
 204  \sem{e} =1 \sem{i} ∪ A → \sem{\fst e} =1 \sem{i} ∪ (A - {[ ]}).
 205 #S #e #i #A #seme
 206 @eqP_trans [|@minus_eps_pre]
 207 @eqP_trans [||@eqP_union_r [|@eqP_sym @minus_eps_item]]
 208 @eqP_trans [||@distribute_substract]
 209 @eqP_substract_r //
 210 qed.
 211
 212 (* theorem 16: 1 *)
 213 theorem sem_bull: ∀S:DeqSet. ∀i:pitem S.  \sem{•i} =1 \sem{i} ∪ \sem{|i|}.
 214 #S #e elim e
 215   [#w normalize % [/2/ | * //]
 216   |/2/
 217   |#x normalize #w % [ /2/ | * [@False_ind | //]]
 218   |#x normalize #w % [ /2/ | * // ]
 219   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_dot
 220    @eqP_trans [|@odot_dot_aux //] >sem_cat
 221    @eqP_trans
 222      [|@eqP_union_r
 223        [|@eqP_trans [|@(cat_ext_l … IH1)] @distr_cat_r]]
 224    @eqP_trans [|@union_assoc]
 225    @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 226    @eqP_union_l //
 227   |#i1 #i2 #IH1 #IH2 >eclose_plus
 228    @eqP_trans [|@sem_oplus] >sem_plus >erase_plus
 229    @eqP_trans [|@(eqP_union_l … IH2)]
 230    @eqP_trans [|@eqP_sym @union_assoc]
 231    @eqP_trans [||@union_assoc] @eqP_union_r
 232    @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 233    @eqP_trans [||@eqP_union_l [|@union_comm]]
 234    @eqP_trans [||@union_assoc] /2/
 235   |#i #H >sem_pre_true >sem_star >erase_bull >sem_star
 236    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@cat_ext_l [|@minus_eps_pre_aux //]]]
 237    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@distr_cat_r]]
 238    @eqP_trans [|@union_assoc] @eqP_union_l >erase_star
 239    @eqP_sym @star_fix_eps
 240   ]
 241 qed.
 242
 243 (* blank item *)
 244 let rec blank (S: DeqSet) (i: re S) on i :pitem S ≝
 245  match i with
 246   [ z ⇒ `∅
 247   | e ⇒ ϵ
 248   | s y ⇒ `y
 249   | o e1 e2 ⇒ (blank S e1) + (blank S e2)
 250   | c e1 e2 ⇒ (blank S e1) · (blank S e2)
 251   | k e ⇒ (blank S e)^* ].
 252
 253 lemma forget_blank: ∀S.∀e:re S.|blank S e| = e.
 254 #S #e elim e normalize //
 255 qed.
 256
 257 lemma sem_blank: ∀S.∀e:re S.\sem{blank S e} =1 ∅.
 258 #S #e elim e
 259   [1,2:@eq_to_ex_eq //
 260   |#s @eq_to_ex_eq //
 261   |#e1 #e2 #Hind1 #Hind2 >sem_cat
 262    @eqP_trans [||@(union_empty_r … ∅)]
 263    @eqP_trans [|@eqP_union_l[|@Hind2]] @eqP_union_r
 264    @eqP_trans [||@(cat_empty_l … ?)] @cat_ext_l @Hind1
 265   |#e1 #e2 #Hind1 #Hind2 >sem_plus
 266    @eqP_trans [||@(union_empty_r … ∅)]
 267    @eqP_trans [|@eqP_union_l[|@Hind2]] @eqP_union_r @Hind1
 268   |#e #Hind >sem_star
 269    @eqP_trans [||@(cat_empty_l … ?)] @cat_ext_l @Hind
 270   ]
 271 qed.
 272
 273 theorem re_embedding: ∀S.∀e:re S.
 274   \sem{•(blank S e)} =1 \sem{e}.
 275 #S #e @eqP_trans [|@sem_bull] >forget_blank
 276 @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@sem_blank]]
 277 @eqP_trans [|@union_comm] @union_empty_r.
 278 qed.
 279
 280 (* lefted operations *)
 281 definition lifted_cat ≝ λS:DeqSet.λe:pre S.
 282   lift S (pre_concat_l S eclose e).
 283
 284 notation "e1 ⊙ e2" left associative with precedence 70 for @{'odot $e1 $e2}.
 285
 286 interpretation "lifted cat" 'odot e1 e2 = (lifted_cat ? e1 e2).
 287
 288 lemma odot_true_b : ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b.
 289   〈i1,true〉 ⊙ 〈i2,b〉 = 〈i1 · (\fst (•i2)),\snd (•i2) ∨ b〉.
 290 #S #i1 #i2 #b normalize in ⊢ (??%?); cases (•i2) //
 291 qed.
 292
 293 lemma odot_false_b : ∀S.∀i1,i2:pitem S.∀b.
 294   〈i1,false〉 ⊙ 〈i2,b〉 = 〈i1 · i2 ,b〉.
 295 //
 296 qed.
 297
 298 lemma erase_odot:∀S.∀e1,e2:pre S.
 299   |\fst (e1 ⊙ e2)| = |\fst e1| · (|\fst e2|).
 300 #S * #i1 * * #i2 #b2 // >odot_true_b >erase_dot //
 301 qed.
 302
 303 definition lk ≝ λS:DeqSet.λe:pre S.
 304   match e with
 305   [ mk_Prod i1 b1 ⇒
 306     match b1 with
 307     [true ⇒ 〈(\fst (eclose ? i1))^*, true〉
 308     |false ⇒ 〈i1^*,false〉
 309     ]
 310   ].
 311
 312 (* notation < "a \sup ⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $a}.*)
 313 interpretation "lk" 'lk a = (lk ? a).
 314 notation "a^⊛" non associative with precedence 90 for @{'lk $a}.
 315
 316
 317 lemma ostar_true: ∀S.∀i:pitem S.
 318   〈i,true〉^⊛ = 〈(\fst (•i))^*, true〉.
 319 // qed.
 320
 321 lemma ostar_false: ∀S.∀i:pitem S.
 322   〈i,false〉^⊛ = 〈i^*, false〉.
 323 // qed.
 324
 325 lemma erase_ostar: ∀S.∀e:pre S.
 326   |\fst (e^⊛)| = |\fst e|^*.
 327 #S * #i * // qed.
 328
 329 lemma sem_odot_true: ∀S:DeqSet.∀e1:pre S.∀i.
 330   \sem{e1 ⊙ 〈i,true〉} =1 \sem{e1 ▹ i} ∪ { [ ] }.
 331 #S #e1 #i
 332 cut (e1 ⊙ 〈i,true〉 = 〈\fst (e1 ▹ i), \snd(e1 ▹ i) ∨ true〉) [//]
 333 #H >H cases (e1 ▹ i) #i1 #b1 cases b1
 334   [>sem_pre_true @eqP_trans [||@eqP_sym @union_assoc]
 335    @eqP_union_l /2/
 336   |/2/
 337   ]
 338 qed.
 339
 340 lemma eq_odot_false: ∀S:DeqSet.∀e1:pre S.∀i.
 341   e1 ⊙ 〈i,false〉 = e1 ▹ i.
 342 #S #e1 #i
 343 cut (e1 ⊙ 〈i,false〉 = 〈\fst (e1 ▹ i), \snd(e1 ▹ i) ∨ false〉) [//]
 344 cases (e1 ▹ i) #i1 #b1 cases b1 #H @H
 345 qed.
 346
 347 lemma sem_odot:
 348   ∀S.∀e1,e2: pre S. \sem{e1 ⊙ e2} =1 \sem{e1}· \sem{|\fst e2|} ∪ \sem{e2}.
 349 #S #e1 * #i2 *
 350   [>sem_pre_true
 351    @eqP_trans [|@sem_odot_true]
 352    @eqP_trans [||@union_assoc] @eqP_union_r @odot_dot_aux //
 353   |>sem_pre_false >eq_odot_false @odot_dot_aux //
 354   ]
 355 qed.
 356
 357 (* theorem 16: 4 *)
 358 theorem sem_ostar: ∀S.∀e:pre S.
 359   \sem{e^⊛} =1  \sem{e} · \sem{|\fst e|}^*.
 360 #S * #i #b cases b
 361   [>sem_pre_true >sem_pre_true >sem_star >erase_bull
 362    @eqP_trans [|@eqP_union_r[|@cat_ext_l [|@minus_eps_pre_aux //]]]
 363    @eqP_trans [|@eqP_union_r [|@distr_cat_r]]
 364    @eqP_trans [||@eqP_sym @distr_cat_r]
 365    @eqP_trans [|@union_assoc] @eqP_union_l
 366    @eqP_trans [||@eqP_sym @epsilon_cat_l] @eqP_sym @star_fix_eps
 367   |>sem_pre_false >sem_pre_false >sem_star /2/
 368   ]
 369 qed.