weblib/tutorial/chapter9.ma

   1 (*
   2 \ 5h1\ 6Moves\ 5/h1\ 6*)
   3
   4 include "chapter8.ma".
   5
   6 let rec move (S: DeqSet) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
   7  match E with
   8   [ pz ⇒ 〈 `∅, false 〉
   9   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
  10   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
  11   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
  12   | po e1 e2 ⇒ (move ? x e1) ⊕ (move ? x e2)
  13   | pc e1 e2 ⇒ (move ? x e1) ⊙ (move ? x e2)
  14   | pk e ⇒ (move ? x e)^⊛ ].
  15
  16 lemma move_plus: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i1,i2:pitem S.
  17   move S x (i1 + i2) = (move ? x i1) ⊕ (move ? x i2).
  18 // qed.
  19
  20 lemma move_cat: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i1,i2:pitem S.
  21   move S x (i1 · i2) = (move ? x i1) ⊙ (move ? x i2).
  22 // qed.
  23
  24 lemma move_star: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i:pitem S.
  25   move S x i^* = (move ? x i)^⊛.
  26 // qed.
  27
  28 definition pmove ≝ λS:DeqSet.λx:S.λe:pre S. move ? x (\fst e).
  29
  30 lemma pmove_def : ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i:pitem S.∀b.
  31   pmove ? x 〈i,b〉 = move ? x i.
  32 // qed.
  33
  34 lemma eq_to_eq_hd: ∀A.∀l1,l2:list A.∀a,b.
  35   a::l1 = b::l2 → a = b.
  36 #A #l1 #l2 #a #b #H destruct //
  37 qed.
  38
  39 lemma same_kernel: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀i:pitem S.
  40   |\fst (move ? a i)| = |i|.
  41 #S #a #i elim i //
  42   [#i1 #i2 #H1 #H2 >move_cat >erase_odot //
  43   |#i1 #i2 #H1 #H2 >move_plus whd in ⊢ (??%%); //
  44   ]
  45 qed.
  46
  47 theorem move_ok:
  48  ∀S:DeqSet.∀a:S.∀i:pitem S.∀w: word S.
  49    \sem{move ? a i} w ↔ \sem{i} (a::w).
  50 #S #a #i elim i
  51   [normalize /2/
  52   |normalize /2/
  53   |normalize /2/
  54   |normalize #x #w cases (true_or_false (a==x)) #H >H normalize
  55     [>(\P H) % [* // #bot @False_ind //| #H1 destruct /2/]
  56     |% [@False_ind |#H1 cases (\Pf H) #H2 @H2 destruct //]
  57     ]
  58   |#i1 #i2 #HI1 #HI2 #w >move_cat
  59    @iff_trans[|@sem_odot] >same_kernel >sem_cat_w
  60    @iff_trans[||@(iff_or_l … (HI2 w))] @iff_or_r
  61    @iff_trans[||@iff_sym @deriv_middot //]
  62    @cat_ext_l @HI1
  63   |#i1 #i2 #HI1 #HI2 #w >(sem_plus S i1 i2) >move_plus >sem_plus_w
  64    @iff_trans[|@sem_oplus]
  65    @iff_trans[|@iff_or_l [|@HI2]| @iff_or_r //]
  66   |#i1 #HI1 #w >move_star
  67    @iff_trans[|@sem_ostar] >same_kernel >sem_star_w
  68    @iff_trans[||@iff_sym @deriv_middot //]
  69    @cat_ext_l @HI1
  70   ]
  71 qed.
  72
  73 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{moves ? $x $E}.
  74 let rec moves (S : DeqSet) w e on w : pre S ≝
  75  match w with
  76   [ nil ⇒ e
  77   | cons x w' ⇒ w' ↦* (move S x (\fst e))].
  78
  79 lemma moves_empty: ∀S:DeqSet.∀e:pre S.
  80   moves ? [ ] e = e.
  81 // qed.
  82
  83 lemma moves_cons: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀w.∀e:pre S.
  84   moves ? (a::w)  e = moves ? w (move S a (\fst e)).
  85 // qed.
  86
  87 lemma moves_left : ∀S,a,w,e.
  88   moves S (w@[a]) e = move S a (\fst (moves S w e)).
  89 #S #a #w elim w // #x #tl #Hind #e >moves_cons >moves_cons //
  90 qed.
  91
  92 lemma not_epsilon_sem: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀w: word S. ∀e:pre S.
  93   iff ((a::w) ∈ e) ((a::w) ∈ \fst e).
  94 #S #a #w * #i #b cases b normalize
  95   [% /2/ * // #H destruct |% normalize /2/]
  96 qed.
  97
  98 lemma same_kernel_moves: ∀S:DeqSet.∀w.∀e:pre S.
  99   |\fst (moves ? w e)| = |\fst e|.
 100 #S #w elim w //
 101 qed.
 102
 103 theorem decidable_sem: ∀S:DeqSet.∀w: word S. ∀e:pre S.
 104    (\snd (moves ? w e) = true) ↔ \sem{e} w.
 105 #S #w elim w
 106  [* #i #b >moves_empty cases b % /2/
 107  |#a #w1 #Hind #e >moves_cons
 108   @iff_trans [||@iff_sym @not_epsilon_sem]
 109   @iff_trans [||@move_ok] @Hind
 110  ]
 111 qed.
 112
 113 (************************ pit state ***************************)
 114 definition pit_pre ≝ λS.λi.〈blank S (|i|), false〉.
 115
 116 let rec occur (S: DeqSet) (i: re S) on i ≝
 117   match i with
 118   [ z ⇒ [ ]
 119   | e ⇒ [ ]
 120   | s y ⇒ [y]
 121   | o e1 e2 ⇒ unique_append ? (occur S e1) (occur S e2)
 122   | c e1 e2 ⇒ unique_append ? (occur S e1) (occur S e2)
 123   | k e ⇒ occur S e].
 124
 125 lemma not_occur_to_pit: ∀S,a.∀i:pitem S. memb S a (occur S (|i|)) ≠ true →
 126   move S a i  = pit_pre S i.
 127 #S #a #i elim i //
 128   [#x normalize cases (a==x) normalize // #H @False_ind /2/
 129   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 #H >move_cat
 130    >Hind1 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l1 //]
 131    >Hind2 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l2 //] //
 132   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 #H >move_plus
 133    >Hind1 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l1 //]
 134    >Hind2 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l2 //] //
 135   |#i #Hind #H >move_star >Hind //
 136   ]
 137 qed.
 138
 139 lemma move_pit: ∀S,a,i. move S a (\fst (pit_pre S i)) = pit_pre S i.
 140 #S #a #i elim i //
 141   [#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 >move_cat >Hind1 >Hind2 //
 142   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 >move_plus >Hind1 >Hind2 //
 143   |#i #Hind >move_star >Hind //
 144   ]
 145 qed.
 146
 147 lemma moves_pit: ∀S,w,i. moves S w (pit_pre S i) = pit_pre S i.
 148 #S #w #i elim w //
 149 qed.
 150
 151 lemma to_pit: ∀S,w,e. ¬ sublist S w (occur S (|\fst e|)) →
 152  moves S w e = pit_pre S (\fst e).
 153 #S #w elim w
 154   [#e * #H @False_ind @H normalize #a #abs @False_ind /2/
 155   |#a #tl #Hind #e #H cases (true_or_false (memb S a (occur S (|\fst e|))))
 156     [#Htrue >moves_cons whd in ⊢ (???%); <(same_kernel … a)
 157      @Hind >same_kernel @(not_to_not … H) #H1 #b #memb cases (orb_true_l … memb)
 158       [#H2 >(\P H2) // |#H2 @H1 //]
 159     |#Hfalse >moves_cons >not_occur_to_pit // >Hfalse /2/
 160     ]
 161   ]
 162 qed.