weblib/tutorial/chapter9.ma

   1 include "re.ma".
   2 include "basics/listb.ma".
   3
   4 let rec move (S: DeqSet) (x:S) (E: pitem S) on E : pre S ≝
   5  match E with
   6   [ pz ⇒ 〈 `∅, false 〉
   7   | pe ⇒ 〈 ϵ, false 〉
   8   | ps y ⇒ 〈 `y, false 〉
   9   | pp y ⇒ 〈 `y, x == y 〉
  10   | po e1 e2 ⇒ (move ? x e1) ⊕ (move ? x e2)
  11   | pc e1 e2 ⇒ (move ? x e1) ⊙ (move ? x e2)
  12   | pk e ⇒ (move ? x e)^⊛ ].
  13
  14 lemma move_plus: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i1,i2:pitem S.
  15   move S x (i1 + i2) = (move ? x i1) ⊕ (move ? x i2).
  16 // qed.
  17
  18 lemma move_cat: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i1,i2:pitem S.
  19   move S x (i1 · i2) = (move ? x i1) ⊙ (move ? x i2).
  20 // qed.
  21
  22 lemma move_star: ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i:pitem S.
  23   move S x i^* = (move ? x i)^⊛.
  24 // qed.
  25
  26 definition pmove ≝ λS:DeqSet.λx:S.λe:pre S. move ? x (\fst e).
  27
  28 lemma pmove_def : ∀S:DeqSet.∀x:S.∀i:pitem S.∀b.
  29   pmove ? x 〈i,b〉 = move ? x i.
  30 // qed.
  31
  32 lemma eq_to_eq_hd: ∀A.∀l1,l2:list A.∀a,b.
  33   a::l1 = b::l2 → a = b.
  34 #A #l1 #l2 #a #b #H destruct //
  35 qed.
  36
  37 lemma same_kernel: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀i:pitem S.
  38   |\fst (move ? a i)| = |i|.
  39 #S #a #i elim i //
  40   [#i1 #i2 #H1 #H2 >move_cat >erase_odot //
  41   |#i1 #i2 #H1 #H2 >move_plus whd in ⊢ (??%%); //
  42   ]
  43 qed.
  44
  45 theorem move_ok:
  46  ∀S:DeqSet.∀a:S.∀i:pitem S.∀w: word S.
  47    \sem{move ? a i} w ↔ \sem{i} (a::w).
  48 #S #a #i elim i
  49   [normalize /2/
  50   |normalize /2/
  51   |normalize /2/
  52   |normalize #x #w cases (true_or_false (a==x)) #H >H normalize
  53     [>(\P H) % [* // #bot @False_ind //| #H1 destruct /2/]
  54     |% [@False_ind |#H1 cases (\Pf H) #H2 @H2 destruct //]
  55     ]
  56   |#i1 #i2 #HI1 #HI2 #w >move_cat
  57    @iff_trans[|@sem_odot] >same_kernel >sem_cat_w
  58    @iff_trans[||@(iff_or_l … (HI2 w))] @iff_or_r
  59    @iff_trans[||@iff_sym @deriv_middot //]
  60    @cat_ext_l @HI1
  61   |#i1 #i2 #HI1 #HI2 #w >(sem_plus S i1 i2) >move_plus >sem_plus_w
  62    @iff_trans[|@sem_oplus]
  63    @iff_trans[|@iff_or_l [|@HI2]| @iff_or_r //]
  64   |#i1 #HI1 #w >move_star
  65    @iff_trans[|@sem_ostar] >same_kernel >sem_star_w
  66    @iff_trans[||@iff_sym @deriv_middot //]
  67    @cat_ext_l @HI1
  68   ]
  69 qed.
  70
  71 notation > "x ↦* E" non associative with precedence 60 for @{moves ? $x $E}.
  72 let rec moves (S : DeqSet) w e on w : pre S ≝
  73  match w with
  74   [ nil ⇒ e
  75   | cons x w' ⇒ w' ↦* (move S x (\fst e))].
  76
  77 lemma moves_empty: ∀S:DeqSet.∀e:pre S.
  78   moves ? [ ] e = e.
  79 // qed.
  80
  81 lemma moves_cons: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀w.∀e:pre S.
  82   moves ? (a::w)  e = moves ? w (move S a (\fst e)).
  83 // qed.
  84
  85 lemma moves_left : ∀S,a,w,e.
  86   moves S (w@[a]) e = move S a (\fst (moves S w e)).
  87 #S #a #w elim w // #x #tl #Hind #e >moves_cons >moves_cons //
  88 qed.
  89
  90 lemma not_epsilon_sem: ∀S:DeqSet.∀a:S.∀w: word S. ∀e:pre S.
  91   iff ((a::w) ∈ e) ((a::w) ∈ \fst e).
  92 #S #a #w * #i #b cases b normalize
  93   [% /2/ * // #H destruct |% normalize /2/]
  94 qed.
  95
  96 lemma same_kernel_moves: ∀S:DeqSet.∀w.∀e:pre S.
  97   |\fst (moves ? w e)| = |\fst e|.
  98 #S #w elim w //
  99 qed.
 100
 101 theorem decidable_sem: ∀S:DeqSet.∀w: word S. ∀e:pre S.
 102    (\snd (moves ? w e) = true) ↔ \sem{e} w.
 103 #S #w elim w
 104  [* #i #b >moves_empty cases b % /2/
 105  |#a #w1 #Hind #e >moves_cons
 106   @iff_trans [||@iff_sym @not_epsilon_sem]
 107   @iff_trans [||@move_ok] @Hind
 108  ]
 109 qed.
 110
 111 (************************ pit state ***************************)
 112 definition pit_pre ≝ λS.λi.〈blank S (|i|), false〉.
 113
 114 let rec occur (S: DeqSet) (i: re S) on i ≝
 115   match i with
 116   [ z ⇒ [ ]
 117   | e ⇒ [ ]
 118   | s y ⇒ [y]
 119   | o e1 e2 ⇒ unique_append ? (occur S e1) (occur S e2)
 120   | c e1 e2 ⇒ unique_append ? (occur S e1) (occur S e2)
 121   | k e ⇒ occur S e].
 122
 123 lemma not_occur_to_pit: ∀S,a.∀i:pitem S. memb S a (occur S (|i|)) ≠ true →
 124   move S a i  = pit_pre S i.
 125 #S #a #i elim i //
 126   [#x normalize cases (a==x) normalize // #H @False_ind /2/
 127   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 #H >move_cat
 128    >Hind1 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l1 //]
 129    >Hind2 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l2 //] //
 130   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 #H >move_plus
 131    >Hind1 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l1 //]
 132    >Hind2 [2:@(not_to_not … H) #H1 @sublist_unique_append_l2 //] //
 133   |#i #Hind #H >move_star >Hind //
 134   ]
 135 qed.
 136
 137 lemma move_pit: ∀S,a,i. move S a (\fst (pit_pre S i)) = pit_pre S i.
 138 #S #a #i elim i //
 139   [#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 >move_cat >Hind1 >Hind2 //
 140   |#i1 #i2 #Hind1 #Hind2 >move_plus >Hind1 >Hind2 //
 141   |#i #Hind >move_star >Hind //
 142   ]
 143 qed.
 144
 145 lemma moves_pit: ∀S,w,i. moves S w (pit_pre S i) = pit_pre S i.
 146 #S #w #i elim w //
 147 qed.
 148
 149 lemma to_pit: ∀S,w,e. ¬ sublist S w (occur S (|\fst e|)) →
 150  moves S w e = pit_pre S (\fst e).
 151 #S #w elim w
 152   [#e * #H @False_ind @H normalize #a #abs @False_ind /2/
 153   |#a #tl #Hind #e #H cases (true_or_false (memb S a (occur S (|\fst e|))))
 154     [#Htrue >moves_cons whd in ⊢ (???%); <(same_kernel … a)
 155      @Hind >same_kernel @(not_to_not … H) #H1 #b #memb cases (orb_true_l … memb)
 156       [#H2 >(\P H2) // |#H2 @H1 //]
 157     |#Hfalse >moves_cons >not_occur_to_pit // >Hfalse /2/
 158     ]
 159   ]
 160 qed.
 161