matita/library/nat/div_and_mod_new.ma.dontcompile

   1 (**************************************************************************)
   2 (*       ___                                                              *)
   3 (*      ||M||                                                             *)
   4 (*      ||A||       A project by Andrea Asperti                           *)
   5 (*      ||T||                                                             *)
   6 (*      ||I||       Developers:                                           *)
   7 (*      ||T||       A.Asperti, C.Sacerdoti Coen,                          *)
   8 (*      ||A||       E.Tassi, S.Zacchiroli                                 *)
   9 (*      \   /                                                             *)
  10 (*       \ /        Matita is distributed under the terms of the          *)
  11 (*        v         GNU Lesser General Public License Version 2.1         *)
  12 (*                                                                        *)
  13 (**************************************************************************)
  14
  15 set "baseuri" "cic:/matita/nat/div_and_mod_new".
  16
  17 include "datatypes/constructors.ma".
  18 include "nat/minus.ma".
  19
  20 let rec mod_aux t m n: nat \def
  21 match (leb (S m) n) with
  22 [ true \Rightarrow m
  23 | false \Rightarrow
  24     match t with
  25     [O \Rightarrow m (* if t is large enough this case never happens *)
  26     |(S t1) \Rightarrow mod_aux t1 (m-n) n
  27     ]
  28 ].
  29
  30 definition mod: nat \to nat \to nat \def
  31 \lambda m,n.mod_aux m m n.
  32
  33 interpretation "natural remainder" 'module x y =
  34   (cic:/matita/nat/div_and_mod_new/mod.con x y).
  35
  36 lemma O_to_mod_aux: \forall m,n. mod_aux O m n = m.
  37 intros.
  38 simplify.elim (leb (S m) n);reflexivity.
  39 qed.
  40
  41 lemma lt_to_mod_aux: \forall t,m,n. m < n \to mod_aux (S t) m n = m.
  42 intros.
  43 change with
  44 ( match (leb (S m) n) with
  45   [ true \Rightarrow m | false \Rightarrow mod_aux t (m-n) n] = m).
  46 rewrite > (le_to_leb_true ? ? H).
  47 reflexivity.
  48 qed.
  49
  50 lemma le_to_mod_aux: \forall t,m,n. n \le m \to
  51 mod_aux (S t) m n = mod_aux t (m-n) n.
  52 intros.
  53 change with
  54 (match (leb (S m) n) with
  55 [ true \Rightarrow m | false \Rightarrow mod_aux t (m-n) n] = mod_aux t (m-n) n).
  56 apply (leb_elim (S m) n);intro
  57   [apply False_ind.apply (le_to_not_lt  ? ? H).apply H1
  58   |reflexivity
  59   ]
  60 qed.
  61
  62 let rec div_aux p m n : nat \def
  63 match (leb (S m) n) with
  64 [ true \Rightarrow O
  65 | false \Rightarrow
  66   match p with
  67   [O \Rightarrow O
  68   |(S q) \Rightarrow S (div_aux q (m-n) n)]].
  69
  70 definition div : nat \to nat \to nat \def
  71 \lambda n,m.div_aux n n m.
  72
  73 interpretation "natural divide" 'divide x y =
  74   (cic:/matita/nat/div_and_mod_new/div.con x y).
  75
  76 theorem lt_mod_aux_m_m:
  77 \forall n. O < n \to \forall t,m. m \leq t \to (mod_aux t m n) < n.
  78 intros 3.
  79 elim t
  80   [rewrite > O_to_mod_aux.
  81    apply (le_n_O_elim ? H1).
  82    assumption
  83   |apply (leb_elim (S m) n);intros
  84     [rewrite > lt_to_mod_aux[assumption|assumption]
  85     |rewrite > le_to_mod_aux
  86       [apply H1.
  87        apply le_plus_to_minus.
  88        apply (trans_le ? ? ? H2).
  89        apply (lt_O_n_elim ? H).intro.
  90        rewrite < plus_n_Sm.
  91        apply le_S_S.
  92        apply le_plus_n_r
  93       |apply not_lt_to_le.
  94        assumption
  95       ]
  96     ]
  97   ]
  98 qed.
  99
 100 theorem lt_mod_m_m: \forall n,m. O < m \to (n \mod m) < m.
 101 intros.unfold mod.
 102 apply lt_mod_aux_m_m[assumption|apply le_n]
 103 qed.
 104
 105 lemma mod_aux_O: \forall p,n:nat. mod_aux p n O = n.
 106 intros.
 107 elim p
 108   [reflexivity
 109   |simplify.rewrite < minus_n_O.assumption
 110   ]
 111 qed.
 112
 113 theorem div_aux_mod_aux: \forall m,p,n:nat.
 114 (n=(div_aux p n m)*m + (mod_aux p n m)).
 115 intro.
 116 apply (nat_case m)
 117   [intros.rewrite < times_n_O.simplify.apply sym_eq.apply mod_aux_O
 118   |intros 2.elim p
 119     [simplify.elim (leb n m1);reflexivity
 120     |simplify.apply (leb_elim n1 m1);intro
 121       [reflexivity
 122       |simplify.
 123        rewrite > assoc_plus.
 124        rewrite < (H (n1-(S m1))).
 125        change with (n1=(S m1)+(n1-(S m1))).
 126        rewrite < sym_plus.
 127        apply plus_minus_m_m.
 128        change with (m1 < n1).
 129        apply not_le_to_lt.exact H1.
 130       ]
 131     ]
 132   ]
 133 qed.
 134
 135 theorem div_mod: \forall n,m:nat. O < m \to n=(n / m)*m+(n \mod m).
 136 intros.apply (div_aux_mod_aux m n n).
 137 qed.
 138
 139 inductive div_mod_spec (n,m,q,r:nat) : Prop \def
 140 div_mod_spec_intro: r < m \to n=q*m+r \to (div_mod_spec n m q r).
 141
 142 (*
 143 definition div_mod_spec : nat \to nat \to nat \to nat \to Prop \def
 144 \lambda n,m,q,r:nat.r < m \land n=q*m+r).
 145 *)
 146
 147 theorem div_mod_spec_to_not_eq_O: \forall n,m,q,r.(div_mod_spec n m q r) \to m \neq O.
 148 intros 4.unfold Not.intros.elim H.absurd (le (S r) O)
 149   [rewrite < H1.assumption|exact (not_le_Sn_O r)]
 150 qed.
 151
 152 theorem div_mod_spec_div_mod:
 153 \forall n,m. O < m \to (div_mod_spec n m (n / m) (n \mod m)).
 154 intros.autobatch.
 155 (*
 156 apply div_mod_spec_intro.
 157 apply lt_mod_m_m.assumption.
 158 apply div_mod.assumption.
 159 *)
 160 qed.
 161
 162 theorem div_mod_spec_to_eq :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 163 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to q = q1.
 164 intros.elim H.elim H1.
 165 apply (nat_compare_elim q q1);intro
 166   [apply False_ind.
 167    cut ((q1-q)*b+r1  = r)
 168     [cut (b \leq (q1-q)*b+r1)
 169       [cut (b \leq r)
 170         [apply (lt_to_not_le r b H2 Hcut2)
 171         |elim Hcut.assumption
 172         ]
 173       |autobatch depth=4. apply (trans_le ? ((q1-q)*b))
 174         [apply le_times_n.
 175          apply le_SO_minus.exact H6
 176         |rewrite < sym_plus.
 177          apply le_plus_n
 178         ]
 179       ]
 180     |rewrite < sym_times.
 181      rewrite > distr_times_minus.
 182      rewrite > plus_minus
 183       [autobatch.
 184        (*
 185        rewrite > sym_times.
 186        rewrite < H5.
 187        rewrite < sym_times.
 188        apply plus_to_minus.
 189        apply H3
 190        *)
 191       |autobatch.
 192        (*
 193        apply le_times_r.
 194        apply lt_to_le.
 195        apply H6
 196        *)
 197       ]
 198     ]
 199 (* eq case *)
 200   |assumption.
 201 (* the following case is symmetric *)
 202 intro.
 203 apply False_ind.
 204 cut (eq nat ((q-q1)*b+r) r1).
 205 cut (b \leq (q-q1)*b+r).
 206 cut (b \leq r1).
 207 apply (lt_to_not_le r1 b H4 Hcut2).
 208 elim Hcut.assumption.
 209 apply (trans_le ? ((q-q1)*b)).
 210 apply le_times_n.
 211 apply le_SO_minus.exact H6.
 212 rewrite < sym_plus.
 213 apply le_plus_n.
 214 rewrite < sym_times.
 215 rewrite > distr_times_minus.
 216 rewrite > plus_minus.
 217 rewrite > sym_times.
 218 rewrite < H3.
 219 rewrite < sym_times.
 220 apply plus_to_minus.
 221 apply H5.
 222 apply le_times_r.
 223 apply lt_to_le.
 224 apply H6.
 225 qed.
 226
 227 theorem div_mod_spec_to_eq2 :\forall a,b,q,r,q1,r1.
 228 (div_mod_spec a b q r) \to (div_mod_spec a b q1 r1) \to
 229 (eq nat r r1).
 230 intros.elim H.elim H1.
 231 apply (inj_plus_r (q*b)).
 232 rewrite < H3.
 233 rewrite > (div_mod_spec_to_eq a b q r q1 r1 H H1).
 234 assumption.
 235 qed.
 236
 237 theorem div_mod_spec_times : \forall n,m:nat.div_mod_spec ((S n)*m) (S n) m O.
 238 intros.constructor 1.
 239 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 240 rewrite < plus_n_O.rewrite < sym_times.reflexivity.
 241 qed.
 242
 243 (* some properties of div and mod *)
 244 theorem div_times: \forall n,m:nat. ((S n)*m) / (S n) = m.
 245 intros.
 246 apply (div_mod_spec_to_eq ((S n)*m) (S n) ? ? ? O).
 247 goal 15. (* ?11 is closed with the following tactics *)
 248 apply div_mod_spec_div_mod.
 249 unfold lt.apply le_S_S.apply le_O_n.
 250 apply div_mod_spec_times.
 251 qed.
 252
 253 theorem div_n_n: \forall n:nat. O < n \to n / n = S O.
 254 intros.
 255 apply (div_mod_spec_to_eq n n (n / n) (n \mod n) (S O) O).
 256 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 257 constructor 1.assumption.
 258 rewrite < plus_n_O.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
 259 qed.
 260
 261 theorem eq_div_O: \forall n,m. n < m \to n / m = O.
 262 intros.
 263 apply (div_mod_spec_to_eq n m (n/m) (n \mod m) O n).
 264 apply div_mod_spec_div_mod.
 265 apply (le_to_lt_to_lt O n m).
 266 apply le_O_n.assumption.
 267 constructor 1.assumption.reflexivity.
 268 qed.
 269
 270 theorem mod_n_n: \forall n:nat. O < n \to n \mod n = O.
 271 intros.
 272 apply (div_mod_spec_to_eq2 n n (n / n) (n \mod n) (S O) O).
 273 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 274 constructor 1.assumption.
 275 rewrite < plus_n_O.simplify.rewrite < plus_n_O.reflexivity.
 276 qed.
 277
 278 theorem mod_S: \forall n,m:nat. O < m \to S (n \mod m) < m \to
 279 ((S n) \mod m) = S (n \mod m).
 280 intros.
 281 apply (div_mod_spec_to_eq2 (S n) m ((S n) / m) ((S n) \mod m) (n / m) (S (n \mod m))).
 282 apply div_mod_spec_div_mod.assumption.
 283 constructor 1.assumption.rewrite < plus_n_Sm.
 284 apply eq_f.
 285 apply div_mod.
 286 assumption.
 287 qed.
 288
 289 theorem mod_O_n: \forall n:nat.O \mod n = O.
 290 intro.elim n.simplify.reflexivity.
 291 simplify.reflexivity.
 292 qed.
 293
 294 theorem lt_to_eq_mod:\forall n,m:nat. n < m \to n \mod m = n.
 295 intros.
 296 apply (div_mod_spec_to_eq2 n m (n/m) (n \mod m) O n).
 297 apply div_mod_spec_div_mod.
 298 apply (le_to_lt_to_lt O n m).apply le_O_n.assumption.
 299 constructor 1.
 300 assumption.reflexivity.
 301 qed.
 302
 303 (* injectivity *)
 304 theorem injective_times_r: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.(S n)*m).
 305 change with (\forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q).
 306 intros.
 307 rewrite < (div_times n).
 308 rewrite < (div_times n q).
 309 apply eq_f2.assumption.
 310 reflexivity.
 311 qed.
 312
 313 variant inj_times_r : \forall n,p,q:nat.(S n)*p = (S n)*q \to p=q \def
 314 injective_times_r.
 315
 316 theorem lt_O_to_injective_times_r: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.n*m).
 317 simplify.
 318 intros 4.
 319 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
 320 apply (inj_times_r m).assumption.
 321 qed.
 322
 323 variant inj_times_r1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.n*p = n*q \to p=q
 324 \def lt_O_to_injective_times_r.
 325
 326 theorem injective_times_l: \forall n:nat.injective nat nat (\lambda m:nat.m*(S n)).
 327 simplify.
 328 intros.
 329 apply (inj_times_r n x y).
 330 rewrite < sym_times.
 331 rewrite < (sym_times y).
 332 assumption.
 333 qed.
 334
 335 variant inj_times_l : \forall n,p,q:nat. p*(S n) = q*(S n) \to p=q \def
 336 injective_times_l.
 337
 338 theorem lt_O_to_injective_times_l: \forall n:nat. O < n \to injective nat nat (\lambda m:nat.m*n).
 339 simplify.
 340 intros 4.
 341 apply (lt_O_n_elim n H).intros.
 342 apply (inj_times_l m).assumption.
 343 qed.
 344
 345 variant inj_times_l1:\forall n. O < n \to \forall p,q:nat.p*n = q*n \to p=q
 346 \def lt_O_to_injective_times_l.
 347
 348 (* n_divides computes the pair (div,mod) *)
 349
 350 (* p is just an upper bound, acc is an accumulator *)
 351 let rec n_divides_aux p n m acc \def
 352   match n \mod m with
 353   [ O \Rightarrow
 354     match p with
 355       [ O \Rightarrow pair nat nat acc n
 356       | (S p) \Rightarrow n_divides_aux p (n / m) m (S acc)]
 357   | (S a) \Rightarrow pair nat nat acc n].
 358
 359 (* n_divides n m = <q,r> if m divides n q times, with remainder r *)
 360 definition n_divides \def \lambda n,m:nat.n_divides_aux n n m O.