+(**************************************************************************)
+(* ___ *)
+(* ||M|| *)
+(* ||A|| A project by Andrea Asperti *)
+(* ||T|| *)
+(* ||I|| Developers: *)
+(* ||T|| The HELM team. *)
+(* ||A|| http://helm.cs.unibo.it *)
+(* \ / *)
+(* \ / This file is distributed under the terms of the *)
+(* v GNU General Public License Version 2 *)
+(* *)
+(**************************************************************************)
+
+include "basic_2/notation/relations/statictype_7.ma".
+include "basic_2/grammar/genv.ma".
+include "basic_2/relocation/ldrop.ma".
+include "basic_2/static/sd.ma".
+
+(* STRATIFIED STATIC TYPE ASSIGNMENT ON TERMS *******************************)
+
+(* activate genv *)
+inductive ssta (h:sh) (g:sd h): nat → relation4 genv lenv term term ≝
+| ssta_sort: ∀G,L,k,l. deg h g k l → ssta h g l G L (⋆k) (⋆(next h k))
+| ssta_ldef: ∀G,L,K,V,W,U,i,l. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV → ssta h g l G K V W →
+ ⇧[0, i + 1] W ≡ U → ssta h g l G L (#i) U
+| ssta_ldec: ∀G,L,K,W,V,U,i,l. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓛW → ssta h g l G K W V →
+ ⇧[0, i + 1] W ≡ U → ssta h g (l+1) G L (#i) U
+| ssta_bind: ∀a,I,G,L,V,T,U,l. ssta h g l G (L. ⓑ{I} V) T U →
+ ssta h g l G L (ⓑ{a,I}V.T) (ⓑ{a,I}V.U)
+| ssta_appl: ∀G,L,V,T,U,l. ssta h g l G L T U →
+ ssta h g l G L (ⓐV.T) (ⓐV.U)
+| ssta_cast: ∀G,L,W,T,U,l. ssta h g l G L T U → ssta h g l G L (ⓝW.T) U
+.
+
+interpretation "stratified static type assignment (term)"
+ 'StaticType h g G L T U l = (ssta h g l G L T U).
+
+definition ssta_step: ∀h. sd h → relation4 genv lenv term term ≝
+ λh,g,G,L,T,U. ∃l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l+1, U⦄.
+
+(* Basic inversion lemmas ************************************************)
+
+fact ssta_inv_sort1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ → ∀k0. T = ⋆k0 →
+ deg h g k0 l ∧ U = ⋆(next h k0).
+#h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
+[ #G #L #k #l #Hkl #k0 #H destruct /2 width=1/
+| #G #L #K #V #W #U #i #l #_ #_ #_ #k0 #H destruct
+| #G #L #K #W #V #U #i #l #_ #_ #_ #k0 #H destruct
+| #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #k0 #H destruct
+| #G #L #V #T #U #l #_ #k0 #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #_ #k0 #H destruct
+qed-.
+
+lemma ssta_inv_sort1: ∀h,g,G,L,U,k,l. ⦃G, L⦄ ⊢ ⋆k •[h, g] ⦃l, U⦄ →
+ deg h g k l ∧ U = ⋆(next h k).
+/2 width=5 by ssta_inv_sort1_aux/ qed-.
+
+fact ssta_inv_lref1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ → ∀j. T = #j →
+ (∃∃K,V,W. ⇩[0, j] L ≡ K. ⓓV & ⦃G, K⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l, W⦄ &
+ ⇧[0, j + 1] W ≡ U
+ ) ∨
+ (∃∃K,W,V,l0. ⇩[0, j] L ≡ K. ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •[h, g] ⦃l0, V⦄ &
+ ⇧[0, j + 1] W ≡ U & l = l0 + 1
+ ).
+#h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
+[ #G #L #k #l #_ #j #H destruct
+| #G #L #K #V #W #U #i #l #HLK #HVW #HWU #j #H destruct /3 width=6/
+| #G #L #K #W #V #U #i #l #HLK #HWV #HWU #j #H destruct /3 width=8/
+| #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #j #H destruct
+| #G #L #V #T #U #l #_ #j #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #_ #j #H destruct
+]
+qed-.
+
+lemma ssta_inv_lref1: ∀h,g,G,L,U,i,l. ⦃G, L⦄ ⊢ #i •[h, g] ⦃l, U⦄ →
+ (∃∃K,V,W. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓓV & ⦃G, K⦄ ⊢ V •[h, g] ⦃l, W⦄ &
+ ⇧[0, i + 1] W ≡ U
+ ) ∨
+ (∃∃K,W,V,l0. ⇩[0, i] L ≡ K. ⓛW & ⦃G, K⦄ ⊢ W •[h, g] ⦃l0, V⦄ &
+ ⇧[0, i + 1] W ≡ U & l = l0 + 1
+ ).
+/2 width=3 by ssta_inv_lref1_aux/ qed-.
+
+fact ssta_inv_gref1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ → ∀p0. T = §p0 → ⊥.
+#h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
+[ #G #L #k #l #_ #p0 #H destruct
+| #G #L #K #V #W #U #i #l #_ #_ #_ #p0 #H destruct
+| #G #L #K #W #V #U #i #l #_ #_ #_ #p0 #H destruct
+| #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #p0 #H destruct
+| #G #L #V #T #U #l #_ #p0 #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #_ #p0 #H destruct
+qed-.
+
+lemma ssta_inv_gref1: ∀h,g,G,L,U,p,l. ⦃G, L⦄ ⊢ §p •[h, g] ⦃l, U⦄ → ⊥.
+/2 width=10 by ssta_inv_gref1_aux/ qed-.
+
+fact ssta_inv_bind1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ →
+ ∀a,I,X,Y. T = ⓑ{a,I}Y.X →
+ ∃∃Z. ⦃G, L.ⓑ{I}Y⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, Z⦄ & U = ⓑ{a,I}Y.Z.
+#h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
+[ #G #L #k #l #_ #a #I #X #Y #H destruct
+| #G #L #K #V #W #U #i #l #_ #_ #_ #a #I #X #Y #H destruct
+| #G #L #K #W #V #U #i #l #_ #_ #_ #a #I #X #Y #H destruct
+| #b #J #G #L #V #T #U #l #HTU #a #I #X #Y #H destruct /2 width=3/
+| #G #L #V #T #U #l #_ #a #I #X #Y #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #_ #a #I #X #Y #H destruct
+]
+qed-.
+
+lemma ssta_inv_bind1: ∀h,g,a,I,G,L,Y,X,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓑ{a,I}Y.X •[h, g] ⦃l, U⦄ →
+ ∃∃Z. ⦃G, L.ⓑ{I}Y⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, Z⦄ & U = ⓑ{a,I}Y.Z.
+/2 width=3 by ssta_inv_bind1_aux/ qed-.
+
+fact ssta_inv_appl1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ → ∀X,Y. T = ⓐY.X →
+ ∃∃Z. ⦃G, L⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, Z⦄ & U = ⓐY.Z.
+#h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
+[ #G #L #k #l #_ #X #Y #H destruct
+| #G #L #K #V #W #U #i #l #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
+| #G #L #K #W #V #U #i #l #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
+| #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #X #Y #H destruct
+| #G #L #V #T #U #l #HTU #X #Y #H destruct /2 width=3/
+| #G #L #W #T #U #l #_ #X #Y #H destruct
+]
+qed-.
+
+lemma ssta_inv_appl1: ∀h,g,G,L,Y,X,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓐY.X •[h, g] ⦃l, U⦄ →
+ ∃∃Z. ⦃G, L⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, Z⦄ & U = ⓐY.Z.
+/2 width=3 by ssta_inv_appl1_aux/ qed-.
+
+fact ssta_inv_cast1_aux: ∀h,g,G,L,T,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ T •[h, g] ⦃l, U⦄ →
+ ∀X,Y. T = ⓝY.X → ⦃G, L⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, U⦄.
+#h #g #G #L #T #U #l * -G -L -T -U -l
+[ #G #L #k #l #_ #X #Y #H destruct
+| #G #L #K #V #W #U #l #i #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
+| #G #L #K #W #V #U #l #i #_ #_ #_ #X #Y #H destruct
+| #a #I #G #L #V #T #U #l #_ #X #Y #H destruct
+| #G #L #V #T #U #l #_ #X #Y #H destruct
+| #G #L #W #T #U #l #HTU #X #Y #H destruct //
+]
+qed-.
+
+lemma ssta_inv_cast1: ∀h,g,G,L,X,Y,U,l. ⦃G, L⦄ ⊢ ⓝY.X •[h, g] ⦃l, U⦄ →
+ ⦃G, L⦄ ⊢ X •[h, g] ⦃l, U⦄.
+/2 width=4 by ssta_inv_cast1_aux/ qed-.